Calcul intégral

Primitives, intégrale définie, Chasles, linéarité, théorème fondamental, calcul d'aires.

Primitives à mémoriser

Primitives usuelles: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1). 1/x → ln|x|. eˣ → eˣ. sin x → −cos x. cos x → sin x. u'/u → ln|u|. u'·eᵘ → eᵘ. Ces primitives sont la base de tout calcul intégral.
Primitive d'une composée f(u(x)): Si F est une primitive de f, alors une primitive de u'(x)·f(u(x)) est F(u(x)). Exemple : (2x)·e^(x²) a pour primitive e^(x²). Reconnaître la forme u'·f(u) est la compétence clé du calcul intégral.

Théorème fondamental de l'analyse: ∫[a→b] f(x)dx = F(b) − F(a), où F est une primitive quelconque de f sur [a, b]. On note souvent [F(x)]_{a}^{b} = F(b) − F(a). C'est le résultat central qui lie dérivée et intégrale.
Relation de Chasles: ∫[a→b] f + ∫[b→c] f = ∫[a→c] f pour tout a, b, c. Aussi : ∫[a→a] f = 0 et ∫[a→b] f = −∫[b→a] f. Ces propriétés permettent de découper et réorganiser les intervalles d'intégration.
Linéarité de l'intégrale: ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g pour tous réels α, β. Permet de calculer l'intégrale d'une somme terme par terme — outil fondamental pour les expressions développées.

Aire sous la courbe (f ≥ 0): Si f(x) ≥ 0 sur [a, b], alors ∫[a→b] f(x)dx est l'aire de la surface délimitée par la courbe, l'axe des x et les droites x = a et x = b. Si f change de signe, l'intégrale donne une valeur algébrique (aires comptées avec signe).
Aire entre deux courbes: Si f(x) ≥ g(x) sur [a, b], l'aire entre les deux courbes est ∫[a→b] [f(x) − g(x)] dx. Il faut d'abord déterminer l'ordre des courbes sur l'intervalle et diviser si elles se croisent.

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