Limites de fonctions

Limites finies et infinies, opérations, formes indéterminées, croissances comparées.

Définitions et formules clés

Les quatre formes indéterminées: +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. Ces formes n'ont pas de limite a priori — il faut les lever par factorisation, mise au même dénominateur, conjugué ou croissances comparées. Le résultat dépend de la fonction.
Asymptote verticale en x = a: La droite x = a est asymptote verticale si lim_{x→a} f(x) = ±∞. Typiquement : f(x) = 1/(x−a) a une AV en x = a.
Asymptote horizontale en y = L: La droite y = L est asymptote horizontale si lim_{x→+∞} f(x) = L ou lim_{x→−∞} f(x) = L.

Exponentielle domine tout polynôme: Pour tout entier n : lim_{x→+∞} xⁿ ÷ eˣ = 0 et lim_{x→+∞} eˣ ÷ xⁿ = +∞. En −∞ : xⁿ · eˣ → 0 pour tout n ≥ 0 (l'exponentielle l'emporte en valeur absolue).
Logarithme et polynôme en 0⁺ et +∞: En 0⁺ : x·ln(x) → 0 et ln(x) → −∞. En +∞ : ln(x)/x → 0 (le logarithme croît moins vite que n'importe quelle puissance positive de x). Ces résultats se prouvent par la règle de L'Hôpital.

Théorème des gendarmes: Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) au voisinage de a et lim g(x) = lim h(x) = L, alors lim f(x) = L. Outil puissant quand on ne peut pas calculer la limite directement mais qu'on sait encadrer la fonction.

: Ne jamais « simplifier » une forme indéterminée sans lever l'indétermination. Par exemple ∞/∞ ne vaut pas 1 — factoriser par le terme dominant.
: Pour lever ∞/∞ pour un quotient de polynômes : factoriser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance du dénominateur, puis simplifier.

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