Fonctions logarithme et exponentielle

Propriétés algébriques, dérivées, sin, cos, croissances comparées.

Propriétés algébriques

Logarithme naturel ln: ln(ab) = ln a + ln b. ln(a/b) = ln a − ln b. ln(aⁿ) = n·ln a. ln 1 = 0. ln e = 1. Résoudre ln x = k : x = eᵏ. Résoudre eˣ = k (k > 0) : x = ln k. Domaine : x > 0 obligatoire.
Exponentielle exp: e^(a+b) = eᵃ·eᵇ. e^(a−b) = eᵃ/eᵇ. (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. e⁰ = 1. exp et ln sont réciproques l'une de l'autre : e^(ln x) = x (x > 0) et ln(eˣ) = x. Leurs courbes sont symétriques par rapport à y = x.
Trigonométrie: sin²x + cos²x = 1 (relation fondamentale). sin'(x) = cos(x), cos'(x) = −sin(x). Valeurs remarquables : sin(0)=0, sin(π/6)=1/2, sin(π/4)=√2/2, sin(π/3)=√3/2, sin(π/2)=1. Idem pour cos en décalant.

Tableau de variations de sin et cos: sin est croissante sur [−π/2 ; π/2] (min −1 en −π/2, max 1 en π/2), décroissante sur [π/2 ; 3π/2]. cos est décroissante sur [0 ; π] (max 1 en 0, min −1 en π), croissante sur [π ; 2π]. Périodicité : période 2π pour sin et cos. Ces variations permettent de construire les tableaux de signes et de déduire le nombre de solutions sur un intervalle.
Résoudre sin x = a sur [0 ; 2π]: Si |a| > 1 : pas de solution. Si |a| ≤ 1 : on pose α = arcsin(a) (solution dans [−π/2 ; π/2]). Les deux solutions dans [0 ; 2π] sont x₁ = α (modulo 2π) et x₂ = π − α (modulo 2π). Exemple : sin x = 1/2 → x₁ = π/6, x₂ = 5π/6.
Résoudre cos x = a sur [0 ; 2π]: Si |a| > 1 : pas de solution. Si |a| ≤ 1 : on pose α = arccos(a) (solution dans [0 ; π]). Les deux solutions dans [0 ; 2π] sont x₁ = α et x₂ = 2π − α. Exemple : cos x = 1/2 → x₁ = π/3, x₂ = 5π/3.

exp domine tout polynôme en +∞: Pour tout entier n ≥ 0 : lim_{x→+∞} xⁿ/eˣ = 0 (eˣ l'emporte). En −∞ : xⁿ·eˣ → 0. Ces limites se retrouvent très fréquemment dans les exercices de limite et de tableau de variations.
ln croît moins vite que tout polynôme: Pour tout α > 0 : lim_{x→+∞} ln(x)/x^α = 0. En 0⁺ : lim_{x→0⁺} x·ln(x) = 0 et lim_{x→0⁺} x^α·ln(x) = 0. Ces résultats permettent de lever des formes indéterminées du type 0×∞.

: ln(a + b) ≠ ln a + ln b. C'est ln(ab) = ln a + ln b. Erreur très fréquente : ne JAMAIS développer ln d'une somme.
: Le domaine de ln est ]0 ; +∞[ strictement. Une équation ln(u(x)) = k exige d'abord de vérifier que u(x) > 0, puis de résoudre u(x) = eᵏ, et enfin de vérifier que les solutions satisfont u(x) > 0.
: Pour une équation sin x = a ou cos x = a : toujours préciser l'intervalle de résolution. Sur ℝ, les solutions forment une famille infinie (à exprimer modulo 2π).

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