Suites numériques

Suites récurrentes, géométriques, arithmético-géométriques, limites et récurrence.

Définitions et formules clés

Suite géométrique: uₙ = u₀ × qⁿ (terme général). Somme des n+1 premiers termes : S = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) ÷ (1 − q) pour q ≠ 1. Limite : tend vers 0 si |q| < 1, vers +∞ si q > 1, diverge si q ≤ −1.
Suite arithmético-géométrique u_{n+1} = a·uₙ + b: Méthode : trouver le point fixe l tel que l = a·l + b (donc l = b/(1−a)), poser vₙ = uₙ − l. La suite (vₙ) est géométrique de raison a, ce qui donne uₙ = l + (u₀ − l)·aⁿ.
Raisonnement par récurrence: Deux étapes obligatoires : 1) Initialisation — vérifier la propriété P(n₀) au rang de départ. 2) Hérédité — supposer P(n) vraie et démontrer P(n+1). On conclut que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

Théorème de la limite monotone: Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Toute suite croissante et non majorée diverge vers +∞. Ces résultats sont fondamentaux pour prouver la convergence sans calculer la limite explicitement.
Comportement asymptotique des suites géométriques: Si |q| < 1, qⁿ → 0 exponentiellement vite — c'est la base de nombreuses applications (amortissements, probabilités). Si q > 1, qⁿ → +∞. Les suites géométriques modélisent la croissance exponentielle (populations, placements financiers).

Rechercher le sens de variation d'une suite récurrente: Calculer u_{n+1} − uₙ (ou u_{n+1}/uₙ si tous termes positifs), puis étudier le signe. Si u_{n+1} − uₙ > 0 pour tout n, la suite est croissante. Utiliser le fait que u_{n+1} = f(uₙ) : la monotonie de f sur un intervalle stable donne le sens de la suite.
Recherche de seuil (algorithmique): Calculer les termes successivement jusqu'à dépasser un seuil S. En Python : while u < S: n+=1; u=... — algorithme simple mais à maîtriser pour l'épreuve.

: Ne pas confondre le rang n (qui peut partir de 0 ou 1) et le nombre de termes. S'il y a (n+1) termes de u₀ à uₙ, la formule de la somme géométrique donne bien S = u₀(1−qⁿ⁺¹)/(1−q).
: La limite d'une suite géométrique de raison q = −1 n'existe pas (alternance +u₀/−u₀). Toujours vérifier |q| < 1 avant de conclure à la convergence vers 0.

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