Continuité des fonctions

Définition, théorème des valeurs intermédiaires et corollaire.

Définitions clés

Continuité en un point a: f est continue en a si lim_{x→a} f(x) = f(a). Trois conditions : f doit être définie en a, avoir une limite en a, et cette limite doit être égale à f(a). La continuité s'oppose à la présence de sauts, trous ou singularités.
Dérivabilité implique continuité: Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse : |x| est continue en 0 mais non dérivable (coin). Mémoriser l'implication dans le bon sens.

TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires): Si f est continue sur [a, b] et k est compris entre f(a) et f(b) (pas forcément dans cet ordre), alors il existe au moins un c dans ]a, b[ tel que f(c) = k. Ce théorème garantit l'existence d'une solution sans la donner explicitement.
Corollaire du TVI (monotonie): Si f est continue et strictement monotone sur [a, b], alors pour tout k entre f(a) et f(b), il existe un unique c dans ]a, b[ tel que f(c) = k. Ce corollaire garantit l'unicité, ce que le TVI seul ne fait pas.

Méthode en 3 étapes: 1) Définir g(x) = f(x) − k (on cherche un zéro). 2) Montrer que g est continue sur un segment [a, b]. 3) Montrer que g(a) et g(b) sont de signes opposés (g(a)·g(b) < 0). Conclure par le TVI : il existe c ∈ ]a, b[ tel que g(c) = 0, donc f(c) = k.

: Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution, pas l'unicité. Pour l'unicité, il faut la stricte monotonie (corollaire).
: La continuité sur un intervalle ouvert ne suffit pas — le TVI s'applique sur un segment fermé [a, b] (bornes incluses).

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