Équations différentielles

y' = ay, y' = ay + b, conditions initiales, modélisation.

Solutions des équations différentielles

Équation y' = ay: La solution générale est y(x) = C·e^(ax), où C est une constante réelle quelconque. Si on ajoute la condition initiale y(0) = y₀, alors C = y₀, donc y(x) = y₀·e^(ax). C'est la seule famille de solutions.
Équation y' = ay + b: Méthode : 1) Trouver la solution particulière constante yₚ (poser y' = 0) : ayₚ + b = 0 → yₚ = −b/a. 2) La solution générale est y(x) = C·e^(ax) + yₚ = C·e^(ax) − b/a. 3) Utiliser y(0) = y₀ pour trouver C = y₀ + b/a.

Croissance exponentielle (y' = ky, k > 0): Modèle de croissance pour : populations (démographie), intérêts composés (financier), cultures bactériennes. Solution : y(t) = y₀·e^(kt). Le paramètre k est le taux de croissance instantané.
Décroissance radioactive (N' = −λN): Solution N(t) = N₀·e^(−λt). La demi-vie t_{1/2} est le temps pour que N diminue de moitié : N₀/2 = N₀·e^(−λt_{1/2}) → t_{1/2} = ln 2 ÷ λ. Application directe du modèle y' = ay avec a = −λ.
Loi de refroidissement (T' = −k(T − T_ext)): La température T(t) suit T(t) = T_ext + (T₀ − T_ext)·e^(−kt). On pose y = T − T_ext, qui vérifie y' = −ky. Le corps tend asymptotiquement vers la température ambiante T_ext.

: Ne pas oublier la constante C dans la solution générale — une équation différentielle a une infinité de solutions. La condition initiale sert précisément à fixer cette constante.
: Pour y' = ay + b : la solution n'est pas C·e^(ax) + b, mais C·e^(ax) − b/a (la constante particulière vient de ayₚ + b = 0, pas de b seul).

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