Variables aléatoires et lois discrètes

Probabilités conditionnelles, Bayes, Bernoulli, binomiale, géométrique, espérance, variance.

Probabilités conditionnelles

Probabilité conditionnelle P(A|B): P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Se lit : probabilité de A sachant B. Permet de « restreindre » l'univers à B. Formule des probabilités totales : si {Bᵢ} est une partition, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) — on multiplie le long des branches de l'arbre.
Formule de Bayes: P(B|A) = P(A|B)·P(B) ÷ P(A). Permet d'inverser le conditionnement. Très utilisée en médecine (probabilité d'une maladie sachant un test positif) ou en informatique (filtres anti-spam bayésiens).

Loi de Bernoulli B(p): Variable prenant 1 avec probabilité p et 0 avec probabilité 1−p. E(X) = p, V(X) = p(1−p). Modélise une unique épreuve à deux issues (succès/échec).
Loi binomiale B(n, p): X = nombre de succès en n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p. P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. E(X) = np. V(X) = np(1−p). Domaine de validité : n épreuves identiques et indépendantes.
Loi géométrique G(p): X = rang du premier succès. P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p pour k ≥ 1. E(X) = 1/p (espérance du temps d'attente). Propriété d'absence de mémoire : P(X > n+k | X > n) = P(X > k).

Loi uniforme discrète sur {1, 2, …, n}: Chaque valeur de {1, 2, …, n} a la même probabilité 1/n. Espérance E(X) = (n+1)/2 (valeur centrale). Variance V(X) = (n²−1)/12. Exemple : lancer d'un dé équilibré → X ~ U({1,…,6}), E(X) = 3,5.
Formule de la variance: V(X) = E(X²) − [E(X)]². Plus simple à calculer que la définition. L'écart-type σ = √V(X) est dans la même unité que X.
Inégalité de Bienaymé-Tchébychev: P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ V(X)/ε². Donne une borne supérieure sur la probabilité d'être loin de l'espérance. Loi faible des grands nombres : la moyenne de n variables iid converge en probabilité vers μ.

Nuage de points et corrélation linéaire: Pour un échantillon de n couples (xᵢ, yᵢ), le nuage de points visualise la relation entre les deux variables. La covariance cov(X, Y) = (1/n)·Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) mesure la tendance à varier ensemble. Le coefficient de corrélation linéaire r = cov(X,Y) ÷ (σ_X · σ_Y) est compris entre −1 et 1 : |r| proche de 1 indique une forte liaison linéaire.
Droite des moindres carrés (régression linéaire): La droite ŷ = ax + b qui minimise la somme des carrés des résidus (ŷᵢ − yᵢ)². Coefficient directeur : a = cov(X,Y) ÷ V(X). Ordonnée à l'origine : b = ȳ − a·x̄. La droite passe toujours par le point moyen (x̄, ȳ). Elle permet d'interpoler ou d'extrapoler y pour une valeur de x donnée.
Interprétation et limites: Si r² > 0,85 (conventionnellement), l'ajustement linéaire est acceptable. Attention : corrélation ≠ causalité. Deux variables peuvent être corrélées sans lien de cause à effet (variables confondantes). Ne jamais extrapoler très loin hors de l'intervalle des données observées.

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