Dérivation — compléments

Taux d'accroissement, dérivée composée, convexité, point d'inflexion, fonctions réciproques.

Définitions et formules

Taux d'accroissement et dérivée: Le taux d'accroissement de f entre a et a+h est [f(a+h)−f(a)]/h. Si ce quotient tend vers une limite finie quand h→0, c'est f'(a) — la dérivée en a. Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la courbe en a.
Dérivée d'une composée (f∘g)': (f∘g)'(x) = g'(x) × f'(g(x)). On dérive d'abord la fonction extérieure (évaluée en g(x)) et on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Exemple : (e^(x²))' = 2x·e^(x²).
Dérivées usuelles à maîtriser: ln(u(x)) → u'(x)/u(x). e^(u(x)) → u'(x)·e^(u(x)). sin(x) → cos(x). cos(x) → −sin(x). sin(u(x)) → u'(x)·cos(u(x)). Ces formules s'appliquent systématiquement en combinaison avec la règle de la composée.

Convexité : f'' ≥ 0: f est convexe sur I si f''(x) ≥ 0 pour tout x de I. Sa courbe est « souriante » — elle est au-dessus de toutes ses tangentes. Si f'' ≤ 0 : concave (« pleurant »), courbe en dessous de ses tangentes.
Point d'inflexion: Un point où la convexité change (convexe → concave ou inversement). C'est un point où f'' s'annule en changeant de signe. En ce point, la tangente est une droite qui coupe la courbe. Attention : f''(a) = 0 ne suffit pas — il faut le changement de signe.

: Pour (f∘g)' : ne pas dériver la fonction extérieure au point x, mais au point g(x). Exemple courant d'erreur : (sin(x²))' ≠ cos(x²) — il faut multiplier par 2x.
: f''(a) = 0 n'implique pas un point d'inflexion. Contre-exemple : f(x) = x⁴, f''(0) = 0 mais 0 est un minimum (pas d'inflexion).

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