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Mathématiques · Première générale
Dérivation
Nombre dérivé, tangente, dérivées de référence, lien dérivée et variations.
Définitions et notions clés
- Nombre dérivé f'(a)
- f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)] ÷ h. C'est la pente (coefficient directeur) de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. Représente le taux de variation instantané de f en a.
- Équation de la tangente en x = a
- y = f'(a)(x − a) + f(a). Droite passant par (a, f(a)) avec pente f'(a). Si f'(a) = 0 → tangente horizontale → extremum potentiel. Si f'(a) > 0 → f croissante localement.
Dérivées de référence et règles
- Dérivées usuelles (tronc commun)
- f(x) = c (constante) → 0. x → 1. x² → 2x. x³ → 3x². xⁿ → nxⁿ⁻¹. Ces formules sont à connaître par cœur. (f+g)' = f'+g'. (λf)' = λf'.
- Du signe de f' aux variations
- f'(x) > 0 sur un intervalle → f strictement croissante (↗) sur cet intervalle. f'(x) < 0 → f strictement décroissante (↘). f'(x) = 0 en un point isolé → possible extremum (vérifier le changement de signe).
Dériver un polynôme de degré 2 ou 3
- Formules
- Pour f(x) = ax² + bx + c : f′(x) = 2ax + b. Pour f(x) = ax³ + bx² + cx + d : f′(x) = 3ax² + 2bx + c. On retrouve ces formules en combinant les dérivées usuelles (xⁿ → nxⁿ⁻¹) avec (λu)′ = λu′ et (u+v)′ = u′+v′.
- Exemples
- Si f(x) = 2x² − 4x + 9, alors f′(x) = 4x − 4. Si v(x) = −2x³ + 6x² − 3x + 9, alors v′(x) = −6x² + 12x − 3.
Méthode — tableau de variations
- 1) Calculer f'(x). 2) Résoudre f'(x) = 0. 3) Dresser le tableau des signes de f'. 4) Déduire les flèches ↗ ou ↘. 5) Calculer les valeurs de f aux bornes et aux points critiques.
- Un minimum local se produit quand f' passe de − à + (↘ puis ↗). Un maximum local quand f' passe de + à − (↗ puis ↘). Si f' ne change pas de signe en un zéro → ni max ni min (ex : x³ en 0).
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