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Mathématiques · Terminale STMG
Fonctions et variations
Fonctions affines, second degré, tableaux de variations, extremums, taux d'évolution et indices. Outils clés pour modéliser et analyser des situations économiques et financières.
Fonctions affines
- Définition f(x) = ax + b
- a est le coefficient directeur (pente de la droite). b est l'ordonnée à l'origine (valeur de f(0)). Si a > 0 : f est croissante. Si a < 0 : f est décroissante. Si a = 0 : f est constante (droite horizontale). Représentation graphique : une droite.
- Taux d'évolution
- Entre une valeur initiale A et une valeur finale B : t = (B − A) ÷ A. En pourcentage : t × 100. Si t > 0 : hausse. Si t < 0 : baisse. Le coefficient multiplicateur associé est CM = 1 + t (avec t en décimal).
- Taux d'évolution réciproque
- Si on applique un taux t, pour revenir à la valeur initiale il faut appliquer le taux t' = 1/CM − 1. Exemple : hausse de 20 % (CM = 1,2) → taux réciproque = 1/1,2 − 1 ≈ −16,7 %. Une hausse de 20 % ne s'annule pas par une baisse de 20 %.
- Enchaînement de taux
- Pour enchaîner plusieurs évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs. CM total = CM₁ × CM₂ × … Le taux global n'est PAS la somme des taux individuels. Exemple : +20 % puis −20 % → CM = 1,2 × 0,8 = 0,96, soit −4 % au total.
Tableau de variations et extremums
- Lecture d'un tableau de variations
- Les flèches ↗ indiquent une croissance (f augmente), ↘ une décroissance (f diminue). Les valeurs placées en haut correspondent à des maximums locaux, celles en bas à des minimums locaux. Les bornes de l'intervalle d'étude sont indiquées en haut à gauche et à droite.
- Maximum local
- En un point où f passe de croissante (↗) à décroissante (↘), f atteint un maximum local : sa valeur est supérieure à celles de ses voisins proches.
- Minimum local
- En un point où f passe de décroissante (↘) à croissante (↗), f atteint un minimum local : sa valeur est inférieure à celles de ses voisins proches.
- Extremum global
- Le maximum (ou minimum) absolu sur tout l'intervalle d'étude. Il peut coïncider avec un extremum local ou se trouver aux bornes de l'intervalle.
Fonctions du second degré
- Forme générale f(x) = ax² + bx + c
- Représentation graphique : une parabole. Si a > 0 : parabole ouverte vers le haut, possède un minimum. Si a < 0 : parabole ouverte vers le bas, possède un maximum. L'axe de symétrie est la droite d'équation x = −b ÷ (2a).
- Discriminant Δ = b² − 4ac
- Δ > 0 : deux racines réelles distinctes x₁ = (−b − √Δ) ÷ (2a) et x₂ = (−b + √Δ) ÷ (2a). Δ = 0 : une racine double x₀ = −b ÷ (2a). Δ < 0 : pas de racine réelle, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
- Sommet de la parabole
- Le sommet a pour abscisse xₛ = −b ÷ (2a) et pour ordonnée f(xₛ). Si a > 0, c'est le minimum de f. Si a < 0, c'est le maximum de f.
Indices et base 100
- Indice en base 100
- On choisit une valeur de référence V₀ à laquelle on attribue l'indice 100. L'indice de l'année n est : Iₙ = (Vₙ ÷ V₀) × 100. Un indice de 115 signifie +15 % par rapport à la référence. Un indice de 80 signifie −20 %.
- Calcul du taux à partir des indices
- Taux d'évolution entre l'indice Iₐ et Iᵦ : t = (Iᵦ − Iₐ) ÷ Iₐ. Les indices permettent de comparer des évolutions exprimées dans des unités différentes (prix, volumes, etc.).
Points de vigilance
- Enchaîner des taux : toujours multiplier les CM, jamais additionner les taux. +10 % suivi de −10 % ne donne pas 0 % mais −1 % (CM = 1,1 × 0,9 = 0,99).
- Le signe de a dans ax² + bx + c détermine le sens de la parabole — à mémoriser en priorité. Beaucoup d'erreurs viennent d'une confusion entre minimum (a > 0) et maximum (a < 0).
- Le discriminant négatif ne signifie pas qu'on a fait une erreur — cela signifie simplement que l'équation n'a pas de solution réelle. La parabole est alors entièrement au-dessus (si a > 0) ou en dessous (si a < 0) de l'axe des x.
- Dans un tableau de variations, les valeurs inscrites sont celles de f, pas de x. Ne pas confondre les deux lignes du tableau.
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