Fonctions exponentielles

Propriété algébrique fondamentale, variations, applications croissance/décroissance.

Propriétés algébriques fondamentales

Définition: On note e le nombre exp(1), dont une valeur approchée est e ≈ 2,718. Pour tout entier relatif n, exp(n) = eⁿ ; on étend cette écriture à tout réel x en posant exp(x) = eˣ. La fonction exponentielle x ↦ eˣ est dérivable sur ℝ et égale à sa propre dérivée : (eˣ)′ = eˣ. Comme eˣ > 0 et e⁰ = 1, et que sa dérivée est strictement positive, elle est strictement croissante sur ℝ — sa courbe passe par (0 ; 1).
Propriété caractéristique: f(a + b) = f(a) × f(b) pour tout a, b ∈ ℝ. Conséquences : f(0) = 1, f(−x) = 1/f(x), f(nx) = [f(x)]ⁿ. Cette propriété traduit que deux évolutions successives (de a, puis de b) se composent multiplicativement.
Variations selon la base b: f(x) = bˣ. Si b > 1 : strictement croissante (tend vers +∞ en +∞, vers 0 en −∞). Si 0 < b < 1 : strictement décroissante. Si b = 1 : constante égale à 1. Cas particulier important : eˣ avec e ≈ 2,718.
Propriétés de calcul: bᵃ⁺ᵇ = bᵃ × bᵇ. bᵃ⁻ᵇ = bᵃ ÷ bᵇ. (bᵃ)ⁿ = bᵃⁿ. b⁰ = 1. b^{−n} = 1/bⁿ. Ces propriétés permettent de simplifier les expressions exponentielles.

Modèles exponentiels: Démographie : P(t) = P₀ × (1+r)ᵗ. Finance — intérêts composés : C(n) = C₀ × (1+i)ⁿ. Radioactivité : N(t) = N₀ × (1/2)^{t/T} (T = demi-vie). Épidémie (début) : N(t) = N₀ × R_0ᵗ. Identifier q = 1+t le coefficient multiplicateur.
Taux d'évolution moyen sur n périodes: Si V passe de V₀ à Vₙ en n périodes à taux constant t par période : Vₙ = V₀ × (1+t)ⁿ. Taux moyen annuel : t = (Vₙ/V₀)^{1/n} − 1. Exemple : doubler en 10 ans → t = 2^{1/10} − 1 ≈ 7,2% par an.

: bᵃ⁺ᵇ ≠ bᵃ + bᵇ. L'exposant distribue sur la multiplication, pas sur l'addition. Exemple : 2^{3+2} = 2⁵ = 32 ≠ 2³ + 2² = 12.
: Pour la courbe : passe par (0,1), jamais nulle (toujours positive si b > 0), asymptote horizontale y = 0 (et non y = −∞) pour b > 1 en −∞.

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