Généralités sur les fonctions

Vocabulaire des fonctions, lecture graphique, sens de variation et fonctions affines.

Définitions et notions clés

Définition: Une fonction f est un procédé qui, à un nombre x, associe un unique nombre noté f(x), noté f : x ↦ f(x). Si y = f(x), on dit que y est l'image de x par f, et que x est un antécédent de y. Un réel x a au plus UNE image, mais un réel y peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
Ensemble de définition: L'ensemble de définition Df rassemble tous les réels x pour lesquels f(x) existe. Un réel sans image (ex : division par 0, racine carrée d'un nombre négatif) est une valeur interdite, exclue de Df.
Courbe représentative: La courbe représentative de f, notée Cf, est l'ensemble des points M(x ; f(x)) lorsque x parcourt Df. Un point M(x ; y) appartient à Cf si et seulement si y = f(x).

: Lire une image f(a) : repérer x = a sur l'axe des abscisses, monter (ou descendre) jusqu'à la courbe, puis lire l'ordonnée du point obtenu.
: Lire le ou les antécédents de k : repérer y = k sur l'axe des ordonnées, tracer l'horizontale correspondante, lire la (ou les) abscisse(s) des points d'intersection avec Cf.
: Résoudre f(x) = k graphiquement revient à chercher les antécédents de k. Résoudre f(x) > k revient à repérer les abscisses où la courbe est au-dessus de la droite horizontale y = k.

Croissance, décroissance, constance: f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a et b de I avec a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b) (la courbe « monte »). Elle est décroissante si f(a) ≥ f(b) (la courbe « descend »). Elle est constante si f(a) = f(b) pour tous a, b de I.
Tableau de variation: Un tableau de variation résume, sur des intervalles successifs, le sens de variation d'une fonction à l'aide de flèches (↗ croissante, ↘ décroissante) et indique les valeurs prises aux bornes — en particulier les minimums et maximums locaux.

Définition et coefficients: Une fonction affine s'écrit f(x) = mx + p, avec m et p réels. Sa courbe représentative est la droite d'équation y = mx + p : m est le coefficient directeur (la pente), p l'ordonnée à l'origine (valeur de f(0)).
Sens de variation et signe: Si m > 0 : f est strictement croissante. Si m < 0 : f est strictement décroissante. Si m = 0 : f est constante (égale à p). Lorsque m ≠ 0, f(x) s'annule et change de signe en x = −p/m.

: Une image est UNIQUE (un seul f(x) par x), mais un antécédent ne l'est pas forcément : une droite horizontale peut couper une courbe en plusieurs points.
: Ne pas confondre f(a) (image de a, lecture verticale) et un antécédent de a (lecture horizontale : on cherche x tel que f(x) = a).

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