Géométrie dans l'espace

Vecteurs, bases, droites, plans, produit scalaire, distances, projeté orthogonal.

Vecteurs, bases et indépendance linéaire

Vecteurs dans l'espace : combinaison linéaire: Tout vecteur de l'espace peut s'écrire comme combinaison linéaire de trois vecteurs non coplanaires : w⃗ = α·u⃗ + β·v⃗ + γ·t⃗. Les vecteurs de la base canonique dans ℝ³ sont i⃗ = (1,0,0), j⃗ = (0,1,0), k⃗ = (0,0,1).
Indépendance linéaire: Des vecteurs u⃗₁, …, u⃗ₙ sont linéairement indépendants si la seule façon d'écrire α₁u⃗₁ + … + αₙu⃗ₙ = 0⃗ est α₁ = … = αₙ = 0. En pratique : deux vecteurs sont L.I. ssi ils ne sont pas colinéaires ; trois vecteurs sont L.I. ssi ils ne sont pas coplanaires (déterminant ≠ 0). L'indépendance est la condition pour qu'un ensemble de vecteurs forme une base.
Vecteur directeur d'une droite et vecteur normal à un plan: La direction d'une droite est donnée par son vecteur directeur (a, b, c) — unique à un scalaire près. L'orientation d'un plan est donnée par son vecteur normal n⃗ = (a, b, c) — perpendiculaire à tous les vecteurs contenus dans le plan. Droite perpendiculaire à un plan ⟺ son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.

Plan d'équation ax + by + cz + d = 0: Tout plan de l'espace admet une équation cartésienne de cette forme. Le vecteur (a, b, c) est un vecteur normal au plan — perpendiculaire à tous les vecteurs du plan. Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs normales sont colinéaires.
Droite par représentation paramétrique: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t·(a, b, c) pour t ∈ ℝ, où (x₀, y₀, z₀) est un point de la droite et (a, b, c) son vecteur directeur. Une droite n'a pas d'équation cartésienne unique dans l'espace — la représentation paramétrique est la forme standard.

Produit scalaire en coordonnées: u⃗·v⃗ = x_u·x_v + y_u·y_v + z_u·z_v. C'est un nombre réel, pas un vecteur. Lien avec les normes et angles : u⃗·v⃗ = ||u⃗||·||v⃗||·cos θ. Orthogonalité : u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0.
Norme d'un vecteur: ||u⃗|| = √(x_u² + y_u² + z_u²). La distance entre deux points A et B est ||AB⃗||. Le projeté orthogonal de M sur un plan est le point du plan minimisant la distance à M.

Distance d'un point au plan ax+by+cz+d=0: d = |ax_M + by_M + cz_M + d| ÷ √(a² + b² + c²). C'est la longueur du segment du point M au pied de la perpendiculaire au plan. Formule à maîtriser pour les calculs de distances dans l'espace.

: Le vecteur normal au plan ax+by+cz+d = 0 est n⃗ = (a, b, c) — les trois coefficients devant x, y, z, pas le terme constant d.
: Deux droites dans l'espace peuvent être non coplanaires (ni parallèles ni sécantes) — on les appelle gauches. Toujours tester l'intersection avant de conclure à des droites parallèles.

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