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Mathématiques · Terminale STMG
Logique et raisonnement mathématique
Implication, équivalence, contraposée, quantificateurs et types de raisonnement. La logique est le langage universel des mathématiques — indispensable pour construire des démonstrations rigoureuses.
Propositions et négations
- Proposition logique
- Énoncé mathématique qui est soit vrai (V) soit faux (F), jamais les deux. Exemples : « 3 est pair » (F), « x > 0 » (V ou F selon x). Les connecteurs logiques combinent des propositions : ET (∧), OU (∨), NON (¬).
- Négation d'inégalités
- ¬(x > a) ↔ x ≤ a. ¬(x ≥ a) ↔ x < a. ¬(a < x < b) ↔ x ≤ a OU x ≥ b. La négation d'un « et » est un « ou » et vice versa (lois de De Morgan) : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q.
- Quantificateur universel ∀
- « Pour tout » (quel que soit). ∀x ∈ E, P(x) signifie que P est vraie pour chaque élément x de E. Négation : ¬(∀x, P(x)) ↔ ∃x, ¬P(x). Il suffit d'un contre-exemple pour réfuter un énoncé universel.
- Quantificateur existentiel ∃
- « Il existe au moins un ». ∃x ∈ E, P(x) signifie qu'il existe au moins un élément pour lequel P est vraie. Négation : ¬(∃x, P(x)) ↔ ∀x, ¬P(x).
Implication et équivalence
- Implication P ⟹ Q
- « Si P est vraie, alors Q est vraie. » Elle est fausse UNIQUEMENT si P est vraie et Q est fausse. Dans tous les autres cas (P fausse quelle que soit Q, ou P et Q vraies), l'implication est vraie. Ce n'est pas une relation de causalité.
- Réciproque de P ⟹ Q
- C'est Q ⟹ P. La réciproque n'est PAS équivalente à l'implication d'origine — elle peut être vraie ou fausse indépendamment. Exemple : « x = 2 ⟹ x² = 4 » (vraie) mais la réciproque « x² = 4 ⟹ x = 2 » (fausse car x peut valoir −2).
- Contraposée de P ⟹ Q
- C'est ¬Q ⟹ ¬P. La contraposée est ÉQUIVALENTE à l'implication d'origine : l'une est vraie si et seulement si l'autre l'est. Utile quand il est plus simple de démontrer la contraposée plutôt que l'implication directe.
- Équivalence P ⟺ Q
- P ⟹ Q ET Q ⟹ P simultanément. P et Q ont toujours la même valeur de vérité — elles sont vraies ou fausses ensemble. On dit « P si et seulement si Q ». Démontrer une équivalence nécessite de prouver les deux implications.
Types de raisonnement
- Raisonnement direct
- On suppose P vraie, on enchaîne des déductions logiques (P ⟹ A₁ ⟹ A₂ ⟹ … ⟹ Q) et on conclut que Q est vraie. C'est la forme de raisonnement la plus courante en mathématiques.
- Raisonnement par l'absurde
- Pour montrer que P est vraie : on suppose ¬P (que P est fausse) et on démontre que cette hypothèse mène à une contradiction (une proposition simultanément vraie et fausse). La contradiction prouve que ¬P est impossible, donc P est vraie.
- Raisonnement par la contraposée
- Pour montrer P ⟹ Q, on démontre sa contraposée ¬Q ⟹ ¬P (qui lui est logiquement équivalente). Souvent plus simple à manipuler quand les négations sont plus faciles à exploiter que les propriétés directes.
- Raisonnement par contre-exemple
- Pour réfuter une proposition universelle du type « ∀x, P(x) », il suffit d'exhiber UN seul x pour lequel P(x) est fausse. Un contre-exemple suffit — inutile d'en donner plusieurs.
Points de vigilance
- Ne jamais confondre implication et équivalence. P ⟹ Q ne signifie pas Q ⟹ P. L'équivalence est une double implication — toujours vérifier les deux sens.
- La contraposée (¬Q ⟹ ¬P) est équivalente à l'implication (P ⟹ Q). La réciproque (Q ⟹ P) ne l'est pas. Cette confusion est l'erreur logique la plus fréquente.
- Nier une implication : ¬(P ⟹ Q) ↔ P ∧ ¬Q. L'implication n'est fausse que si P est vraie ET Q est fausse simultanément.
- Dans un raisonnement par l'absurde, la contradiction obtenue doit être réelle (ex : 0 = 1, ou une propriété prouvée fausse). Ne pas confondre « je ne vois pas comment continuer » avec « j'ai obtenu une contradiction ».
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