Lois à densité

Loi uniforme, loi exponentielle, espérance et variance.

Variables aléatoires à densité

Définition: X a pour densité f si P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a→b] f(x) dx, avec f(x) ≥ 0 et ∫_{−∞}^{+∞} f(x) dx = 1. Contrairement aux variables discrètes, P(X = x) = 0 pour tout x — seules les probabilités sur des intervalles sont non nulles.
Espérance et variance: E(X) = ∫_{−∞}^{+∞} x·f(x) dx. V(X) = E(X²) − [E(X)]² avec E(X²) = ∫ x²·f(x) dx. Ces formules sont les analogues continus de E(X) = Σ xᵢ·pᵢ pour les lois discrètes.

Loi uniforme U([a, b]): Densité : f(x) = 1/(b−a) sur [a, b], 0 ailleurs. E(X) = (a+b)/2 (milieu du segment). V(X) = (b−a)²/12. Modélise un tirage équiprobable dans un intervalle — exemple : position d'un point tiré au hasard sur un segment.
Loi exponentielle E(λ): Densité : f(x) = λ·e^(−λx) pour x ≥ 0, 0 pour x < 0. E(X) = 1/λ. V(X) = 1/λ². Modélise les durées de vie, temps d'attente. Propriété fondamentale : absence de mémoire — P(X > s+t | X > s) = P(X > t).

: Pour la loi exponentielle, P(X ≤ t) = 1 − e^(−λt) (fonction de répartition). P(X > t) = e^(−λt). Ces formules se déduisent en intégrant la densité — à savoir calculer directement.
: La loi uniforme sur [a, b] n'est pas une densité constante sur ℝ — elle vaut 0 en dehors de [a, b]. Toujours préciser le domaine.

Flashcards, mode examen et suivi de progression — gratuit pour commencer.