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Mathématiques · Terminale STMG
Probabilités
Probabilité d'un événement, probabilité conditionnelle, indépendance, schéma de Bernoulli et loi binomiale. Outils fondamentaux pour modéliser l'incertitude.
Vocabulaire et probabilité simple
- Univers Ω
- Ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Un événement A est un sous-ensemble de Ω. L'événement certain est Ω lui-même (P(Ω) = 1) ; l'événement impossible est ∅ (P(∅) = 0).
- Probabilité P(A)
- En situation d'équiprobabilité : P(A) = (nombre de cas favorables à A) ÷ (nombre de cas totaux dans Ω). Toujours 0 ≤ P(A) ≤ 1. La probabilité mesure la vraisemblance d'un événement avant l'expérience.
- Événement complémentaire Ā
- Ensemble des résultats de Ω qui ne sont pas dans A. P(Ā) = 1 − P(A). Très utile pour calculer des probabilités du type « au moins un » : P(au moins 1 succès) = 1 − P(aucun succès).
- Réunion et intersection
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅) : P(A ∪ B) = P(A) + P(B). P(A ∩ B) = probabilité que A ET B se réalisent simultanément.
Probabilité conditionnelle et indépendance
- Probabilité conditionnelle P(B|A)
- Probabilité que B se réalise sachant que A est déjà réalisé. P(B|A) = P(A ∩ B) ÷ P(A), à condition que P(A) ≠ 0. Ce n'est pas une fraction ordinaire — on raisonne dans un univers restreint aux cas où A s'est produit.
- Formule des probabilités composées
- P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A). On lit l'arbre de gauche à droite : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.
- Indépendance de A et B
- A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Cela implique P(B|A) = P(B) : la connaissance de A ne modifie pas la probabilité de B. À distinguer de l'incompatibilité (événements incompatibles ne peuvent être indépendants que si l'un a une probabilité nulle).
- Formule des probabilités totales
- Si {A₁, A₂, …, Aₙ} est une partition de Ω (événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω) : P(B) = Σ P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ). On additionne tous les chemins de l'arbre menant à B.
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Épreuve de Bernoulli
- Expérience aléatoire à exactement deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p). Exemples : lancer une pièce, tirer un objet défectueux ou non, réponse correcte/incorrecte.
- Schéma de Bernoulli
- Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. La variable aléatoire X compte le nombre de succès. X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée X ~ B(n, p).
- Loi binomiale : calcul de P(X = k)
- P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, avec C(n, k) = n! ÷ [k!(n−k)!]. C(n, k) se lit « k parmi n » et compte le nombre de façons d'obtenir exactement k succès en n épreuves.
- Espérance et variance de X ~ B(n, p)
- Espérance E(X) = n × p (nombre moyen de succès attendus). Variance Var(X) = n × p × (1 − p). Écart-type σ(X) = √(n × p × (1 − p)).
Points de vigilance
- Sur l'arbre de probabilités : les probabilités inscrites sur les branches sont des probabilités conditionnelles. On multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins menant au même événement final.
- Ne pas confondre P(A ∩ B) et P(A) × P(B) : le second n'est valide que si A et B sont indépendants. En général, P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).
- Pour « au moins un succès » : utiliser P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ. Beaucoup plus rapide que de sommer toutes les probabilités P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = n).
- Le schéma de Bernoulli exige que les épreuves soient indépendantes ET identiques (même p à chaque fois). Si ces conditions ne sont pas remplies, la loi binomiale ne s'applique pas.
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