Probabilités conditionnelles

P(B|A), tableaux croisés, arbres de probabilités, indépendance.

Vocabulaire des événements et opérations

Univers, événements, opérations: Une expérience est aléatoire si son résultat ne peut être prévu à coup sûr. L'ensemble Ω de tous les résultats possibles est l'univers. Un événement est une partie de Ω (élémentaire s'il ne contient qu'un seul résultat). À partir de A et B : A∩B (« A et B », les deux réalisés) et A∪B (« A ou B », au moins un réalisé). A et B sont incompatibles si A∩B = ∅. L'événement contraire de A, noté Ā, regroupe tout ce qui n'est pas dans A.
Calcul de p(Ā) et p(A∪B): Pour tout événement A : p(Ā) = 1 − p(A). Si A et B sont incompatibles : p(A∪B) = p(A) + p(B). Cas général : p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B). Exemple : tirage dans 52 cartes, A = « un as » (p = 4/52), B = « un cœur » (p = 13/52), A∩B = « l'as de cœur » (p = 1/52) → p(A∪B) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13.

Probabilité conditionnelle P(B|A): P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A), avec P(A) > 0. Se lit : 'probabilité de B sachant A'. Réécriture : P(A∩B) = P(A) × P(B|A). Sur un tableau croisé : P(B|A) = effectif(A∩B) ÷ effectif(A).
Formule des probabilités totales: Si (A, Ā) est une partition de Ω : P(B) = P(A)×P(B|A) + P(Ā)×P(B|Ā). Généralisation : si (A₁, …, Aₙ) est une partition : P(B) = Σ P(Aᵢ)×P(B|Aᵢ). C'est la somme de tous les chemins aboutissant à B sur un arbre.
Indépendance de A et B: A et B indépendants ⟺ P(A∩B) = P(A)×P(B) ⟺ P(B|A) = P(B). La réalisation de A n'influence pas la probabilité de B. Symétrique : si A indépendant de B, alors B indépendant de A.

Règle du produit (chemin): La probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches le long de ce chemin. Ex : P(A)×P(B|A) = P(A∩B).
Règle de la somme (événement): La probabilité d'un événement = somme des probabilités de tous les chemins y aboutissant. La somme des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.

: P(B|A) ≠ P(A|B) : les deux probabilités conditionnelles ne sont pas symétriques. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente (sophisme du procureur).
: Indépendance ≠ incompatibilité. Des événements incompatibles (A∩B = ∅) sont dépendants si P(A) > 0 et P(B) > 0 : P(A∩B) = 0 ≠ P(A)×P(B).

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