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Mathématiques · Terminale STMG
Statistiques descriptives
Indicateurs de position (moyenne, médiane, quartiles) et de dispersion (variance, écart-type, étendue). Indispensables pour analyser et comparer des séries statistiques.
Indicateurs de position
- Moyenne x̄
- x̄ = (Σ xᵢ × nᵢ) ÷ N, où xᵢ est la valeur, nᵢ son effectif et N l'effectif total. Pour une série non pondérée : x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes : un seul outlier peut la décaler fortement.
- Médiane Me
- Valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales. 50 % des valeurs sont ≤ Me. Si n est impair, c'est la valeur centrale. Si n est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales. La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes.
- Quartile Q1
- 25 % des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales. C'est la médiane de la première moitié de la série (valeurs ≤ Me).
- Quartile Q3
- 75 % des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales. C'est la médiane de la deuxième moitié (valeurs ≥ Me).
Indicateurs de dispersion
- Étendue e
- e = valeur max − valeur min. Indicateur simple à calculer, mais très sensible aux valeurs extrêmes. Peu fiable à lui seul pour caractériser la dispersion.
- Écart interquartile EI
- EI = Q3 − Q1. Mesure la dispersion des 50 % centraux de la série, sans être influencé par les valeurs extrêmes. C'est un indicateur robuste et souvent plus représentatif que l'étendue.
- Variance V
- V = Σ nᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N. Moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Elle s'exprime dans le carré de l'unité des données (ex : €² si les données sont en €).
- Écart-type σ
- σ = √V. Racine carrée de la variance. S'exprime dans la même unité que les données — c'est donc l'indicateur de dispersion le plus utilisable concrètement. Plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
Représentations graphiques
- Boîte à moustaches (box plot)
- Représente en un seul graphique : valeur minimum, Q1, médiane (Q2), Q3, valeur maximum. Permet de visualiser rapidement la position, la symétrie et la dispersion de la distribution. La boîte central couvre les 50 % centraux des données (EI).
- Histogramme
- Adapté aux données quantitatives regroupées en classes. La surface (et non la hauteur) de chaque rectangle est proportionnelle à la fréquence, sauf si toutes les classes ont la même largeur.
- Diagramme en barres
- Adapté aux données qualitatives ou aux effectifs discrets. Chaque barre représente une modalité. Ne pas confondre avec l'histogramme qui s'applique aux données continues.
Points de vigilance
- Dans une distribution asymétrique (ex : salaires), la médiane représente mieux la valeur « typique » que la moyenne, tirée vers le haut par quelques très hauts salaires.
- Toujours vérifier que N = Σ nᵢ avant de calculer une moyenne pondérée — erreur fréquente lors de la lecture d'un tableau d'effectifs.
- L'écart-type est toujours positif (σ ≥ 0). σ = 0 signifie que toutes les valeurs sont identiques. Ne jamais donner une valeur négative.
- La boîte à moustaches affiche la médiane, pas la moyenne. Les deux peuvent être très éloignées dans une distribution fortement asymétrique.
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