Suites arithmétiques

Définition, terme général, sens de variation, lien avec les fonctions affines.

Vocabulaire et représentation des suites

Qu'est-ce qu'une suite ?: Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, repérés par les entiers naturels et notée (uₙ). Le terme uₙ est le terme de rang n (le (n+1)-ième terme si l'on commence à u₀).
Définir une suite : explicite ou par récurrence: Une suite est donnée de façon explicite quand uₙ s'exprime directement en fonction de n (ex : uₙ = 0,5n² + 1, donc u₀ = 1, u₁ = 1,5, u₂ = 3). Elle est donnée par récurrence quand on connaît son premier terme et une relation calculant chaque terme à partir du précédent (ex : u₀ = 500 et u_{n+1} = 1,05 × uₙ, donc u₁ = 525, u₂ = 551,25).
Représenter une suite : un nuage de points: Dans un repère, la représentation d'une suite (uₙ) est l'ensemble des points Mₙ(n ; uₙ). À la différence d'une fonction, ce n'est pas une courbe continue mais un nuage de points isolés.

Définition — relation de récurrence: Suite arithmétique : on ajoute une constante r (la raison) d'un terme au suivant. Relation : u_{n+1} = uₙ + r. Si r > 0 : croissante. Si r < 0 : décroissante. Si r = 0 : constante.
Terme général: uₙ = u₀ + n × r (depuis le rang 0). Plus généralement : uₙ = uₚ + (n − p) × r depuis n'importe quel rang p. Permet de calculer directement u_{100} sans calculer u₁ à u_99.
Lien avec les fonctions affines: La suite correspond à la fonction f(n) = u₀ + r·n. La raison r joue le rôle du coefficient directeur. Représentation graphique : nuage de points alignés (on ne relie pas — n ∈ ℕ).

Reconnaître une suite arithmétique: Calculer les différences u_{n+1} − uₙ pour plusieurs termes consécutifs. Si elles sont toutes égales → suite arithmétique de raison r = cette différence. Exemple : 3, 7, 11, 15 → différences = 4 à chaque fois → arithmétique, r = 4.
Sens de variation: r > 0 : strictement croissante. r < 0 : strictement décroissante. r = 0 : constante. Uniquement déterminé par le signe de r, indépendamment de u₀.

: Ne pas confondre rang et terme : uₙ est le terme de rang n. Si le premier terme est u₁ (et non u₀), la formule devient uₙ = u₁ + (n−1)×r. Toujours vérifier le rang de départ.
: La somme des (n+1) premiers termes u₀ + u₁ + … + uₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ)/2 = (nb de termes) × (premier + dernier) ÷ 2. Bien compter le nombre de termes.

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