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Mathématiques · Terminale STMG
Suites arithmétiques et géométriques
Définition, terme général, somme des termes. Applications aux intérêts simples (arithmétique) et aux intérêts composés (géométrique). Les suites sont au cœur de la modélisation financière.
Suites arithmétiques
- Définition
- Une suite (uₙ) est arithmétique si chaque terme s'obtient en ajoutant une constante r (la raison) au précédent : uₙ₊₁ = uₙ + r. Si r > 0 : suite croissante. Si r < 0 : suite décroissante. Si r = 0 : suite constante.
- Terme général
- uₙ = u₀ + n × r. Cette formule permet de calculer directement n'importe quel terme sans passer par tous les termes intermédiaires. Si le premier terme est u₁ : uₙ = u₁ + (n − 1) × r.
- Somme des termes
- S = u₀ + u₁ + … + uₙ = (n + 1) × (u₀ + uₙ) ÷ 2 = nombre de termes × (premier + dernier) ÷ 2. La formule fonctionne aussi pour n'importe quelle tranche de la suite.
- Application : intérêts simples
- Un capital C₀ placé à un taux annuel t génère des intérêts constants I = C₀ × t chaque année. Capital au bout de n années : Cₙ = C₀ + n × C₀t = C₀(1 + nt). C'est une suite arithmétique de raison r = C₀ × t.
Suites géométriques
- Définition
- Une suite (uₙ) est géométrique si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante q (la raison) : uₙ₊₁ = uₙ × q. Si q > 1 : suite croissante. Si 0 < q < 1 : suite décroissante vers 0. Si q < 0 : termes de signes alternants.
- Terme général
- uₙ = u₀ × qⁿ. Attention : n est l'exposant, pas un coefficient. Cette formule permet un calcul direct sans calculer tous les termes précédents.
- Somme des n+1 premiers termes
- S = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) ÷ (1 − q), valable uniquement pour q ≠ 1. Si q = 1, tous les termes sont égaux et S = (n + 1) × u₀.
- Application : intérêts composés
- Un capital C₀ placé à un taux annuel t génère Cₙ = C₀ × (1 + t)ⁿ après n années. Les intérêts s'ajoutent au capital et génèrent eux-mêmes des intérêts (capitalisation). C'est une suite géométrique de raison q = 1 + t.
Reconnaître le type de suite
- Méthode arithmétique
- Calculer uₙ₊₁ − uₙ pour plusieurs rangs consécutifs. Si la différence est toujours la même constante r → suite arithmétique de raison r.
- Méthode géométrique
- Calculer uₙ₊₁ ÷ uₙ pour plusieurs rangs consécutifs (à condition que uₙ ≠ 0). Si le quotient est toujours la même constante q → suite géométrique de raison q.
- Comparaison arithmétique vs géométrique
- Arithmétique : progression linéaire (chaque terme augmente d'une valeur fixe). Géométrique : progression exponentielle (chaque terme est multiplié par un facteur fixe). À long terme, la suite géométrique croît beaucoup plus vite que l'arithmétique si q > 1.
Points de vigilance
- Attention au rang : si u₀ est le premier terme, alors u₁ est le 2ᵉ terme et il y a n + 1 termes entre u₀ et uₙ. Ne pas confondre le rang n et le nombre de termes.
- Intérêts simples (arithmétique) vs intérêts composés (géométrique) : pour une même durée longue, les intérêts composés produisent un capital bien supérieur grâce à la capitalisation. Cela justifie la popularité des placements à intérêts composés.
- Dans la formule de la somme géométrique, si q = 1 la formule est indéfinie (division par zéro) — dans ce cas, utiliser directement S = (n + 1) × u₀.
- Ne pas confondre la raison r d'une suite arithmétique (s'additionne) avec la raison q d'une suite géométrique (se multiplie). Les deux notations différentes existent pour une raison précise.
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