Suites géométriques

Définition, terme général, sens de variation, taux d'évolution global.

Définitions et formules clés

Définition — relation de récurrence: Suite géométrique : on multiplie par une constante q ≠ 0 (la raison) d'un terme au suivant. Relation : u_{n+1} = uₙ × q. Exemples : 2, 6, 18, 54 → q = 3 (géométrique). Attention : si q < 0, les termes alternent de signe.
Terme général: uₙ = u₀ × qⁿ (depuis le rang 0). Depuis un rang p quelconque : uₙ = uₚ × q^{n−p}. La croissance est exponentielle si q > 1 — bien plus rapide qu'une suite arithmétique. Exemple : u₀ = 3, q = 2 → u_10 = 3 × 2^{10} = 3072.
Taux d'évolution global: Si un taux d'évolution par période est t (décimal), après n périodes : CM global = (1+t)ⁿ. Taux global = (1+t)ⁿ − 1. Exemple : +5%/an pendant 3 ans → (1,05)³ − 1 ≈ 15,76% au total. La suite géométrique modélise les intérêts composés (q = 1+t).

Sens de variation (u₀ > 0): q > 1 : strictement croissante. 0 < q < 1 : strictement décroissante (vers 0). q = 1 : constante. q < 0 : termes alternativement positifs et négatifs. Si u₀ < 0, les sens sont inversés pour q > 1 et 0 < q < 1.
Comportement asymptotique: |q| < 1 : la suite tend vers 0 (convergente). |q| > 1 : la suite tend vers ±∞ (divergente). q = 1 : constante. q = −1 : oscille entre deux valeurs, diverge.

: Ne pas confondre arithmétique (on additionne r) et géométrique (on multiplie par q). Test : calculer u_{n+1} − uₙ (arithmétique si constante) OU u_{n+1}/uₙ (géométrique si constant).
: Somme géométrique : u₀ + u₁ + … + uₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) pour q ≠ 1. Si q = 1 : somme = (n+1)×u₀. Ne jamais appliquer la formule sans vérifier q ≠ 1.

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