Applications de la dérivation

Variations, extremums, optimisation, convexité, point d'inflexion.

Extremums et optimisation

Condition nécessaire d'extremum: Si f admet un extremum local en a, alors f'(a) = 0 (tangente horizontale). Mais f'(a) = 0 ne suffit pas : il faut que f' change de signe. f' passe de + à − → maximum local. f' passe de − à + → minimum local. f' ne change pas de signe → ni max ni min (ex : f(x) = x³ en a = 0).
Méthode d'optimisation: 1) Exprimer la quantité à optimiser Q en fonction d'une seule variable x. 2) Déterminer le domaine D de x. 3) Calculer Q'(x). 4) Résoudre Q'(x) = 0 et analyser le signe de Q'. 5) Conclure : maximum ou minimum, et calculer la valeur optimale.

Convexité et concavité: f'' > 0 sur un intervalle → f convexe (sourire ∪) sur cet intervalle : la courbe est au-dessus de ses tangentes. f'' < 0 → f concave (arc ∩) : la courbe est en dessous de ses tangentes. f'' est la dérivée de f'.
Point d'inflexion: Point où la courbe change de courbure (convexe ↔ concave). Condition : f''(a) = 0 ET f'' change de signe en a. La tangente au point d'inflexion traverse la courbe. Exemple : f(x) = x³, f''(x) = 6x, f''(0) = 0, changement de signe → inflexion en (0, 0).

: Étapes : 1) Domaine de définition. 2) f'(x) calculée. 3) Résoudre f'(x) = 0, signe de f'. 4) Lignes : x | f'(x) avec signes | f(x) avec flèches ↗↘ et valeurs aux points clés (bornes + zéros de f').
: Aux bornes ±∞, indiquer la limite de f(x). Pour les extrémités fermées [a,b], calculer f(a) et f(b). Le maximum et minimum globaux sont parmi les extremums locaux et les valeurs aux bornes.

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