Produit scalaire dans le plan

Définition géométrique, expression analytique, orthogonalité, norme.

Définitions et formules

Définition géométrique: u⃗·v⃗ = |u⃗| × |v⃗| × cos θ, où θ est l'angle entre les deux vecteurs (0 ≤ θ ≤ π). Le résultat est un scalaire (nombre réel, pas un vecteur). Positif si θ < π/2, nul si θ = π/2, négatif si θ > π/2.
Expression analytique: Dans un repère orthonormé, u⃗(x, y) et v⃗(x', y') : u⃗·v⃗ = xx' + yy'. C'est la formule de calcul pratique. Exemple : u⃗(3, 4)·v⃗(1, −2) = 3×1 + 4×(−2) = 3 − 8 = −5.
Norme d'un vecteur: |u⃗|² = u⃗·u⃗ = x² + y², donc |u⃗| = √(x²+y²). Identités remarquables : |u⃗+v⃗|² = |u⃗|² + 2u⃗·v⃗ + |v⃗|². |u⃗−v⃗|² = |u⃗|² − 2u⃗·v⃗ + |v⃗|².

Orthogonalité: u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0 ⟺ xx' + yy' = 0. Application : deux droites perpendiculaires ⟺ leurs vecteurs directeurs ont produit scalaire nul.
Propriétés algébriques: Symétrie : u⃗·v⃗ = v⃗·u⃗. Bilinéarité : (u⃗+v⃗)·w⃗ = u⃗·w⃗ + v⃗·w⃗. (λu⃗)·v⃗ = λ(u⃗·v⃗). Ces propriétés permettent de développer les produits scalaires comme des produits ordinaires.

: Le produit scalaire est un NOMBRE, pas un vecteur. Il ne faut pas écrire u⃗·v⃗ = k⃗ mais u⃗·v⃗ = k (scalaire).
: u⃗·u⃗ = |u⃗|² ≥ 0. Le carré de la norme est toujours positif. Ne pas confondre u⃗² (= |u⃗|²) et u⃗ × u⃗ (produit vectoriel, hors programme).

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