Fonctions trigonométriques

Cercle trigonométrique, cos et sin, périodicité, valeurs remarquables, dérivées.

Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Le cercle trigonométrique: Cercle de rayon 1, centre O. Pour un angle x (radians), le point M est à M(cos x, sin x). Angle en partant de (1,0) dans le sens trigonométrique (anti-horaire). cos x = abscisse, sin x = ordonnée.
Valeurs remarquables: x = 0 : (1, 0). x = π/6 : (√3/2, 1/2). x = π/4 : (√2/2, √2/2). x = π/3 : (1/2, √3/2). x = π/2 : (0, 1). x = π : (−1, 0). Mémo cos : 1 → √3/2 → √2/2 → 1/2 → 0 (décroissant).
Relation fondamentale: cos²x + sin²x = 1 pour tout x ∈ ℝ. Découlent du théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique. Permet d'exprimer cos²x ou sin²x en fonction de l'autre.

Parité et périodicité: cos est paire : cos(−x) = cos x. sin est impaire : sin(−x) = −sin x. Les deux sont 2π-périodiques : cos(x+2π) = cos x, sin(x+2π) = sin x. Conséquence : une équation cos x = k a une infinité de solutions (familles de solutions à +2kπ).
Dérivées: (sin x)' = cos x. (cos x)' = −sin x. (sin(ax+b))' = a·cos(ax+b). (cos(ax+b))' = −a·sin(ax+b). Attention au signe moins pour la dérivée de cos.

: cos x = k (|k| ≤ 1) → x = ±arccos(k) + 2kπ. sin x = k (|k| ≤ 1) → x = arcsin(k) + 2kπ OU x = π − arcsin(k) + 2kπ. Sur [0, 2π] : en général deux solutions pour chacune.

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