Dérivation — Spécialité

Taux de variation, dérivées usuelles, règle du produit et du quotient.

Dérivées usuelles à connaître par cœur

Fonctions de base: c → 0. x → 1. xⁿ → nxⁿ⁻¹. √x → 1/(2√x) (pour x > 0). 1/x → −1/x² (pour x ≠ 0). eˣ → eˣ. ln x → 1/x (pour x > 0). sin x → cos x. cos x → −sin x.
Règles de combinaison: (f + g)' = f' + g'. (λf)' = λf'. (uv)' = u'v + uv'. (u/v)' = (u'v − uv')/v². (f∘g)'(x) = g'(x) × f'(g(x)) — dérivée de la composée.

Règle du produit (uv)': (uv)' = u'v + uv'. Mémo : 'dérivée du premier × second + premier × dérivée du second'. Exemple : (x²·eˣ)' = 2x·eˣ + x²·eˣ = xeˣ(2+x). Ne pas confondre avec (u+v)' = u'+v'.
Règle du quotient (u/v)': (u/v)' = (u'v − uv')/v². Attention au signe moins au numérateur (u'v MOINS uv'). Vérifier v ≠ 0. Exemple : (eˣ/x)' = (eˣ·x − eˣ·1)/x² = eˣ(x−1)/x².
Dérivée d'une composée f(g(x)): [f(g(x))]' = g'(x) × f'(g(x)). Mémo : 'dérivée de l'intérieur × dérivée de l'extérieur évaluée en l'intérieur'. Exemples : (e^{2x})' = 2·e^{2x}. (sin(3x))' = 3·cos(3x). ((2x+1)⁵)' = 2×5(2x+1)⁴ = 10(2x+1)⁴.

: La règle du quotient : u'v MOINS uv' (et non uv' MOINS u'v). Le signe est souvent inversé. Mémo : commencer toujours par u'v.
: Le taux de variation [f(a+h)−f(a)]/h représente la pente de la sécante, pas de la tangente. Seulement quand h→0 il devient la dérivée (pente de la tangente).

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