Applications du produit scalaire

Équation de droite, vecteur normal, distance point-droite, équation de cercle.

Équations de droites et de cercles

Équation cartésienne d'une droite: ax + by + c = 0. Le vecteur n⃗(a, b) est normal (perpendiculaire) à la droite. Pour trouver l'équation : identifier n⃗ et un point M₀(x₀, y₀) sur la droite → a(x−x₀) + b(y−y₀) = 0.
Équation d'un cercle: (x−a)² + (y−b)² = r². Centre C(a, b), rayon r. M ∈ cercle ⟺ CM = r ⟺ (x−a)²+(y−b)² = r². Développée : x²+y²−2ax−2by+(a²+b²−r²) = 0.
Distance point-droite: Distance du point M(x₀, y₀) à la droite ax+by+c = 0 : d = |ax₀+by₀+c| ÷ √(a²+b²). La valeur absolue garantit un résultat positif. Exemple : d(M(1,2), 3x+4y−5=0) = |3+8−5|/5 = 6/5.

Triangle rectangle par produit scalaire: Angle droit en A ⟺ AB⃗·AC⃗ = 0. Plus rapide que Pythagore dans beaucoup de cas. Calculer le produit scalaire directement avec les coordonnées.
Médiatrice d'un segment: La médiatrice de [AB] est l'ensemble {M | MA = MB}. Équation : MA² = MB² → développer et simplifier. Vecteur normal à la médiatrice : AB⃗. Passe par le milieu I de [AB].

: Dans la distance point-droite, ne pas oublier la valeur absolue au numérateur. Sinon le résultat peut être négatif, ce qui est impossible pour une distance.
: Pour l'équation du cercle, si le centre n'est pas à l'origine : (x−a)² et non (x+a)². Si le centre est en (2, −3) : (x−2)² + (y+3)² = r².

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