Probabilités conditionnelles — Spécialité

P(B|A) = P(A∩B)/P(A), probabilités totales, Bayes, indépendance.

Formules fondamentales

Probabilité conditionnelle: P(B|A) = P(A∩B)/P(A) avec P(A) > 0. Réécriture : P(A∩B) = P(A)×P(B|A). Sur un arbre : probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches.
Formule des probabilités totales: Si (A₁, …, Aₙ) partition de Ω : P(B) = Σ P(Aᵢ)×P(B|Aᵢ). Cas courant : P(B) = P(A)×P(B|A) + P(Ā)×P(B|Ā). Additionner tous les chemins aboutissant à B sur l'arbre.
Formule de Bayes: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)×P(B|Aᵢ) ÷ P(B). Permet d'inverser cause et effet : connaissant le résultat B, quelle est la probabilité de la cause Aᵢ ? Application classique : taux de faux positifs dans les tests médicaux.

Définition et caractérisation: A et B indépendants ⟺ P(A∩B) = P(A)×P(B) ⟺ P(B|A) = P(B). Symétrique. Indépendance ≠ incompatibilité : événements incompatibles avec P>0 sont dépendants.

: P(A|B) ≠ P(B|A). Le sophisme du procureur : confondre 'probabilité d'être coupable sachant que le test est positif' avec 'probabilité que le test soit positif sachant qu'on est coupable'.
: Bayes nécessite de calculer P(B) par la formule des probabilités totales avant de l'utiliser. Ne jamais appliquer Bayes sans avoir calculé P(B) d'abord.

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