Suites numériques

Suites arithmétiques et géométriques, termes généraux, sommes, comportement asymptotique.

Formules de sommes

Somme arithmétique: u₀ + u₁ + … + uₙ = (n+1)(u₀ + uₙ)/2 = (nombre de termes) × (premier + dernier)/2. Cas particulier : 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 (formule de Gauss).
Somme géométrique: u₀ + u₁ + … + uₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) si q ≠ 1. Si q = 1 : somme = (n+1)u₀. Cas utile : 1 + q + q² + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).

Sens de variation par u_{n+1} − uₙ: Calculer u_{n+1} − uₙ (ou u_{n+1}/uₙ si termes positifs). Si toujours positif → croissante. Si toujours négatif → décroissante. Utiliser l'hypothèse de récurrence si la suite est définie par u_{n+1} = f(uₙ).
Comportement asymptotique: Suite arithmétique (r ≠ 0) → tend vers ±∞. Suite géométrique : |q| < 1 → tend vers 0 (convergente). |q| > 1 → tend vers ±∞. q = −1 → oscille, diverge. Les suites bornées et monotones convergent (théorème de la limite monotone).

: Compter le nombre de termes soigneusement : de u₀ à uₙ, il y a n+1 termes (pas n). Si de u₁ à uₙ : n termes. Erreur très fréquente dans les sommes.
: Pour la somme géométrique, la formule suppose q ≠ 1. Si q = 1 tous les termes valent u₀, donc la somme est (n+1)u₀ — ne jamais diviser par (1−q) si q = 1.

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