Second degré

Formes développée, canonique, factorisée. Discriminant, signe du trinôme, parabole.

Les trois formes du trinôme

Forme développée: f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Forme de départ pour tout calcul. On lit directement c = f(0) (ordonnée à l'origine).
Forme canonique: f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b/(2a) et β = f(α). Le sommet de la parabole est S(α, β). Si a > 0 : β est le minimum. Si a < 0 : β est le maximum. Permet de lire immédiatement le sommet.
Forme factorisée: Possible uniquement si Δ ≥ 0. Si Δ > 0 : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) avec x₁ < x₂. Si Δ = 0 : f(x) = a(x − x₀)². Permet de résoudre f(x) = 0 par lecture directe et d'étudier le signe.

Calcul du discriminant: Δ = b² − 4ac. C'est toujours le premier calcul à effectuer. Δ > 0 : deux racines réelles x₁ = (−b−√Δ)/(2a), x₂ = (−b+√Δ)/(2a). Δ = 0 : racine double x₀ = −b/(2a). Δ < 0 : pas de racine réelle.
Signe du trinôme: Δ < 0 : trinôme du signe de a pour tout x (jamais nul). Δ = 0 : trinôme du signe de a, nul seulement en x₀. Δ > 0 : entre les racines, signe opposé à a ; à l'extérieur, signe de a. Moyen mémo : 'le trinôme sourit (positif à l'extérieur) si a > 0'.

Sommet et axe de symétrie: Sommet S(α, β) avec α = −b/(2a). Axe de symétrie : droite d'équation x = α. La parabole est symétrique par rapport à cet axe. a > 0 → parabole ouverte vers le haut (∪). a < 0 → vers le bas (∩).

: Δ = b² − 4ac et non b² − 4c. Ne pas oublier le facteur a. Si b est négatif, b² reste positif. Calculer b² avant de multiplier par 4ac.
: Pour résoudre une inéquation : 1) calculer les racines, 2) dresser le tableau de signes, 3) lire la solution. Ne jamais résoudre une inéquation du 2nd degré 'à la main' sans tableau de signes.

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