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Maths — Spécialité · Première générale
Fonction exponentielle — Spécialité
Définition comme solution de y'=y, propriétés, dérivée, croissances comparées.
Définition et propriétés algébriques
- Définition
- L'unique fonction f définie sur ℝ vérifiant f'(x) = f(x) et f(0) = 1. Base : e ≈ 2,71828 (constante d'Euler). Strictement positive et strictement croissante sur ℝ.
- Propriétés de calcul
- eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ. eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ. (eᵃ)ⁿ = e^{na}. e^{−x} = 1/eˣ. e⁰ = 1. e¹ = e. Ces propriétés permettent de simplifier toutes les expressions en eˣ.
Dérivées et courbe
- Dérivées faisant intervenir eˣ
- (eˣ)' = eˣ. (e^{ax})' = a·e^{ax}. (e^{u(x)})' = u'(x)·e^{u(x)}. La fonction eˣ est la seule dont la dérivée est elle-même — propriété fondamentale.
- Courbe représentative
- Passe par (0, 1) et (1, e ≈ 2,72). Toujours strictement positive (jamais nulle). Asymptote horizontale y = 0 en −∞. Tangente en 0 : y = x + 1 (pente = e⁰ = 1). Convexe (f'' = eˣ > 0).
Croissances comparées et équations
- Croissances comparées
- Pour tout n ∈ ℕ : lim_{x→+∞} xⁿ/eˣ = 0 et lim_{x→+∞} eˣ/xⁿ = +∞. L'exponentielle l'emporte sur tout polynôme en +∞. En −∞ : lim_{x→−∞} xⁿ·eˣ = 0 pour tout n.
- Résolution d'équations avec eˣ
- e^{f(x)} = e^{g(x)} ⟺ f(x) = g(x) (l'exponentielle est injective). e^{f(x)} > 0 pour tout x (jamais d'équation e^{f(x)} = 0). Pour e^{f(x)} = k > 0 : f(x) = ln k.
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