Logique et raisonnement

Ensembles ℕ ℤ ℚ ℝ, quantificateurs, implication, équivalence, récurrence.

Ensembles de nombres et quantificateurs

Ensembles de nombres: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. ℕ : entiers naturels (0, 1, 2, …). ℤ : entiers relatifs (…, −2, −1, 0, 1, 2, …). ℚ : rationnels (p/q avec p,q entiers, q≠0). ℝ : réels (inclut les irrationnels √2, π, e). Tout rationnel est réel mais tout réel n'est pas rationnel.
Quantificateurs: ∀x ∈ E, P(x) : P vraie pour TOUS les x de E. ∃x ∈ E, P(x) : il existe AU MOINS UN x de E vérifiant P. Négation : ¬(∀x, P(x)) = ∃x, ¬P(x). ¬(∃x, P(x)) = ∀x, ¬P(x). Pour réfuter ∀x, P(x) : trouver un contre-exemple.

Implication P ⟹ Q: Si P vraie alors Q vraie. Fausse seulement si P vraie et Q fausse. La réciproque Q ⟹ P n'est pas nécessairement vraie. La contraposée ¬Q ⟹ ¬P est équivalente à P ⟹ Q.
Équivalence P ⟺ Q: P ⟹ Q ET Q ⟹ P simultanément. P et Q ont toujours la même valeur de vérité. Pour démontrer P ⟺ Q : démontrer les deux implications séparément.
Raisonnement par récurrence: Pour P(n) vraie pour tout n ≥ n₀ : 1) Initialisation : vérifier P(n₀). 2) Hérédité : supposer P(n) vraie (hypothèse de récurrence), démontrer P(n+1). 3) Conclusion : P(n) vraie pour tout n ≥ n₀.

: Implication ≠ équivalence. P ⟹ Q ne signifie pas Q ⟹ P. Ne jamais confondre les deux. Seule l'équivalence est bidirectionnelle.
: Dans la récurrence, l'étape d'hérédité doit utiliser l'hypothèse P(n) pour démontrer P(n+1) — pas seulement calculer P(n+1) directement. Préciser explicitement 'par hypothèse de récurrence, P(n) est vraie'.

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