Variables aléatoires discrètes

Loi de probabilité, espérance, variance, écart-type, linéarité.

Loi de probabilité et caractéristiques

Variable aléatoire discrète: X prend un nombre fini de valeurs x₁, x₂, …, xₙ avec des probabilités pᵢ = P(X = xᵢ). Contrainte : Σpᵢ = 1 (somme de toutes les probabilités = 1). La loi est donnée par un tableau (valeurs, probabilités).
Espérance E(X): E(X) = Σ xᵢ × P(X = xᵢ) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ. Moyenne théorique : si on répète l'expérience un grand nombre de fois, la moyenne des résultats tend vers E(X) (loi des grands nombres).
Variance V(X) et écart-type σ(X): V(X) = E(X²) − [E(X)]² avec E(X²) = Σxᵢ²pᵢ. σ(X) = √V(X). La variance mesure la dispersion autour de la moyenne. L'écart-type est dans la même unité que X.

Linéarité de E: E(aX + b) = aE(X) + b. E(X + Y) = E(X) + E(Y) (même si X et Y ne sont pas indépendantes). Ces propriétés permettent de calculer l'espérance de transformations sans recalculer toute la loi.
Variance de aX + b: V(aX + b) = a²V(X). La translation b ne change pas la dispersion. σ(aX + b) = |a|σ(X). V(−X) = V(X). Si X et Y indépendantes : V(X+Y) = V(X) + V(Y).

: V(X) = E(X²) − [E(X)]². Ne pas confondre E(X²) (espérance du carré) avec [E(X)]² (carré de l'espérance) — ce sont deux quantités différentes.
: La somme des probabilités doit faire exactement 1. Si Σpᵢ ≠ 1, il y a une erreur dans la loi. Toujours vérifier en fin de construction du tableau.

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